[250925] Day 45 - 드디어 SW 수업 끝

들어가며

걸렸던 감기가 거의 다 떨어져간다. 아주 힘들었어. 그래도 시험 당일에 감기가 온게 아니라 딱 시험 직전까지만 감기가 왔던거라 다행이다. 날씨가 갑자기 추워져서 환절기 감기로 고생 좀 했네.

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내일은 드디어 파이썬 수업을 마지막으로 듣고 파이썬 시험을 치는 날이다. 사실 파이썬, Pandas, sklearn 같은 도구들이 아직 어떻게 활용이 될 지는 잘 모르겠다. 뭐, 물론 나중에 도움이 언젠가는 되겠지만,,, 아직은 좀 막연한 것 같다.

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개인적으로 계속해서 디지털신호처리를 위한 공부를 해나가고 있는데, 이건 그래도 전체 시스템을 이해하는데에 큰 도움이 되지 않을까? 회로 이론도 듣고,,, 전력전자도 듣고,,, 아주 할 일이 많구만. 추석 때 알차게 보내야겠어

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오늘의 키워드

LCCDE

Linear Constant Coefficient Differential Equation

• Linear: 방정식이 선형 형태로 전개될 수 있다.
• Constant Coefficient : 계수가 상수값을 가진다.
• Differential Equation : 미분 방정식, 방정식에 함수와 도함수가 포함된 형태를 보인다.
• $$
  {{dy}\over{dt}} + a\cdot y(t) = b\cdot x(t)
  $$

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대부분의 practical한 시스템들은 미분 방정식을 이용해 표현이 가능하다. 그 중에서 계수가 상수값으로 고정되어 비교적 다루기 편한 LCCDE를 한 번 활용해보자.

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아래 그림처럼 어떤 사물이 $m$ 의 질량을 가지면서, 왼쪽으로 $f(t)$ 만큼의 힘을 전달할 때, 오른쪽으로는 $\rho v(t)$ 만큼의 힘을 저항+마찰로 받을 때의 알짜가속도를 구해보자. 여기에서 전달하는 힘이 input, 그에 따른 가속도(속도)가 output 으로 생각할 수 있다.

$$
{{dv(t)}\over{dt}} = {{f(t) - \rho v(t)}\over{m}}
$$

$$
{{dv(t)}\over{dt}} + {{\rho}\over{m}}v(t) = {{1}\over{m}}f(t)
$$

$$
y'(t) + {{\rho}\over{m}}y(t) = {{1}\over{m}}x(t)
$$

LCCDE의 해

LCCDE의 해는 함수임. t에 따라서 변하는 함수를 찾는 것이 미분 방정식의 해이자 목표.

아래와 같은 식을 만족하는 $y(t)$ 를 찾고자 한다.

$$
{{dy}\over{dt}} + 2\cdot y(t) = x(t) \space (\text{ 이때 }x=5^{et}u(t))
$$

• Homogeneous Solution : 위 식에서 입력 $x$ 가 0일 때
  • 시스템에 입력이 없을 때에 어떤 상태인지 파악 (힘을 주지 않았을 때 이미 등속운동?)
• Particular Solution : 위 식에서 입력 $x$가 존재할 때
  • 시스템에 입력을 넣었을 때 어떻게 되는지 파악

$$
{{dy_n}\over{dt}} + 2\cdot y_n = 0
$$

$$
{{dy_p}\over{dt}} + 2\cdot y_p = x
$$

$$
{{d(y_n+y_p)}\over{dt}} + 2\cdot (y_n+y_p) = x
$$

이때, 두 식을 더하더라도 여전히 동일한 미분방정식의 형태를 보인다 → 오! 그러면 내가 진짜로 찾고싶었던 건 Homogeneous + Particular 인 식을 찾고싶은거임 (가만히 있을 때에도 성립 + 입력을 가했을 때에도 성립)

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그러면 이 미분방정식을 한 번 풀어보자. Homogeneous, Particular 에 대한 식을 각각 구한 뒤 합쳐주면 된다.

• Homogeneous 의 꼴을 봤을 때 지수 함수 형태면 좋을 것 같음
• Particular를 풀 때에는 x의 형태를 보고 y, y’ 를 맞춰주기

쭉쭉 식을 전개해 나가다보면 마지막에는 아직 찾지못한 계수와 t≤0 일때의 값 등이 발견된다. ㅤ

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이때 우리가 해결하려는 문제가 Causal LTI 라고 가정하면 이 값들도 찾아낼 수 있다. Causal LTI의 특징은 Initial Rest로, 입력이 없을 때 출력이 없다. 따라서 t가 0이거나 이전일 때는 입력이 없으므로 출력 또한 없다고 보고 0으로 만들어줄 수 있다. 그리고 그래프가 연속되기 위한 A 의 값을 찾을 수 있다.