[신호및시스템] Phase 5-1 - 라플라스 변환

오늘은 라플라스 변환에 대해서 공부했다. 다만, 혁펜하임 강의만으로는 내용이 너무 부족하다고 느껴서 (나의 배경지식의 한계 ^,^) Claude와 아래 유튜브 강의를 활용해서 라플라스 변환의 개념과 의의에 대해서 공부해보았다.

 

What does the Laplace Transform really tell us? A visual explanation (plus applications)

 

 

But what is a Laplace Transform?

 

 

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푸리에 변환의 한계

라플라스 변환으로 향하기 앞서서, 다시 한 번 푸리에 변환에 대해 짚고 가자. 푸리에 변환의 수식은 아래와 같다.

$$
F(\omega) = ∫_{-\infty}^{\infty}f(t)⋅e^{−j\omega t}dt
$$

푸리에 변환의 물리적인 의미는 ‘각주파수 $\omega$ 에 대해서, 신호 $f(t)$ 를 복소평면에서 회전하는 신호 $e^{j\omega t}$ 으로 내적한 값’ 이다. 즉, 푸리에 변환을 통해서 신호가 얼마나 $\omega$ sinusoid 와 유사한지 찾아내는 것이 그 목표이다.

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그런데, 여기에서 생각해보면 푸리에 변환은 한 가지 문제점을 안고있다.

• $e^{j\omega t}$는 영원히 회전하는 신호이다.
• $f(t)=e^{at}$, $f(t) = t$, $f(t) = u(t)$ (단위 step 함수) 같은 발산하는 함수를 푸리에 변환을 통해서는 다룰 수 없다.

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그러나 우리의 현실세계에는 발산하는 형태의 신호들도 다양하게 존재한다. 이런 신호들까지도 분석의 대상으로 삼기 위해서는 푸리에 변환만으로는 부족하다. 그래서 푸리에 변환에서 보다 발전한, 발산하는 신호들까지 주파수 분석을 할 수 있도록 개선한 라플라스 변환을 신호 분석에서는 굉장히 굉장히 많이 사용한다.

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라플라스 변환

푸리에 변환이 ‘신호에 어떤 사인파가 들어있는지 찾는 변환’ 이였다면, 라플라스 변환은 ‘신호에 어떤 사인파와 지수가 들어있는지 찾는 변환’이라고 볼 수 있다.

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단순히 Sinusoid 뿐만 아니라, 지수 성분도 포함되어 있을 때 이 성분들을 찾아낼 수 있다.

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라플라스 변환 수식은 푸리에 변환에서 각주파수 $\omega$ 대신에 복소주파수 $s$ 를 넣어주면 된다. 이때 $s=\sigma+j\omega$ ($\sigma$는 실수부, $j\omega$는 허수부)이다.

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이게 라플라스 변환 수식이다!

$$
F(s) = ∫_{0}^{\infty}f(t)⋅e^{−s t}dt, ( s=\sigma+j\omega)
$$

엔지니어링에서는 일반적으로 $t=0$부터 신호가 유효하다고 여기기 때문에 (t=0이 초기조건임. t<0은 과거인데 과거에서 미래의 영향을 받을 수 없다고 전제함), 라플라스 변환에서도 신호가 $t=0$ 에서부터 유효하다고 생각하고 적분 구간을 0부터 삼는다.

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푸리에 변환 수식에서 $s$ 자리에 $\sigma+j\omega$ 를 대입해주고 식을 조금 풀어주면 라플라스 식은 아래처럼 작성해줄 수 있다.

$$
F(\sigma + j\omega) = ∫_{0}^{\infty}f(t)⋅e^{-\sigma t}\cdot e^{−j\omega t}dt
$$

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여기에서 우변을 잘 보면, 라플라스 변환을 $f(t)⋅e^{-\sigma t}$ 에 대한 푸리에 변환이라고 볼 수도 있다. 이게 무슨 뜻일까? 신호 $f(t)$에다가 $e^{-\sigma t}$ 를 곱해서 신호를 감쇠 / 증폭시키고, 그 결과에 대해서 푸리에 변환을 적용한다. 여기에서는 감쇠항 $\sigma$ 도 움직이고 각주파수 $\omega$ 도 움직이기 때문에, 특정한 조합 ($\sigma$, $\omega$) 으로 표현되는 주파수에 대해서 신호$f(t)$와 얼마나 닮았는지(내적)를 구할 수 있으며, 이것이 라플라스 변환이다.

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만약 $f(t)$ 에 대해서 라플라스 변환을 수행할 때 감쇠 또는 증폭을 걸지 않은 상태 ($\sigma=0$ 인 상태) 에 대해서 진행한다면, 이는 푸리에 변환과 동일하다는 것을 알 수 있다.

$$
F(0+ j\omega) = ∫{0}^{\infty}f(t)⋅e^{0 t}\cdot e^{−j\omega t}dt\\
F(j\omega) = ∫{0}^{\infty}f(t)\cdot e^{−j\omega t}dt\

$$

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신호가 포함하는 지수 성분과 주파수 성분을 찾아내는 방법

그렇다면 어떻게 지수와 주파수 성분을 찾아낼까?

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$cos(t)$ 함수를 이용해서 진짜 이 신호를 찾아낼 수 있는지 확인해보자.

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단 여기에서 ROC의 범위는 $S>0$ 임을 알아야한다!

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위 그래프를 3차원 그래프의 형태로 나타내면 아래와 같다. 그래프의 높이가 라플라스 변환의 크기이다. 그래프상에서 볼 수 있는 뾰족한 뿔 형태의 (무한대에 가까워지는) 좌표가 $f(t)$ 신호의 pole이자 성분이 된다.

 

동일한 방식으로 어떤 신호 $f(t)$ 의 라플라스 변환 $F(s)$를 그래프로 그렸을 때, 아래처럼 여러가지 극값들이 나타난다면, 극값 $s$ 들이 신호 $f(t)$의 성분 $e^{st}$ 라고 분석할 수 있다.

Region of Convergence

단순한 unit step 함수 $u(t)$ 의 라플라스 변환을 구해보자.

$$
U(s) = ∫_{0}^{\infty}u(t)⋅e^{−s t}dt
$$

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여기에서 s가 수렴하는 조건을 살펴보자. 위 수식에서 t가 무한대로 갈 때, 지수항인 $e^{-st}$ 가 0이 되지 않았다면 적분값은 발산하게 되고 $F(s)$는 존재하지 못하게 되었을 것이다. 따라서, 적분을 했을 때 값이 수렴하는 범위를 파악하는 것이 필요하다. 이 범위를 ROC (Region of Convergence - 수렴 범위)라고 부른다. t가 무한대로 갈 때 0으로 수렴하기 위해서는 $-st$ 가 음수 무한대로 향해가야하고, 그러기 위해서는 $s>0$ 이어야만 한다. 즉, $u(t)$의 ROC는 $s>0$ (정확히는 $\sigma >0$) 이다.

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ROC가 중요한 또다른 이유는 라플라스 변환 $F(s)$ 에서 원래 신호 $f(s)$ 로 복원하기 위해서는 ROC가 필요하기 때문이다. 푸리에와 다르게, 여러 개의 신호가 동일한 라플라스 변환으로 올 수 있다. 이때 라플라스 변환은 같더라도 각 신호별로 ROC는 다르기 때문에, ROC를 알면 원래 신호로 복원할 수 있다.

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아래는 두 신호가 동일한 라플라스 변환을 갖지만 ROC는 다른 신호의 예시이다.

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라플라스 변환의 유용성

라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식으로 변환해서 조금 더 편리하게 방정식을 풀어낼 수 있다는 장점이 있다.

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나는 사실 라플라스 변환에서 이게 제일 신기했다.
이게 뭔가 물리적인 의미를 가지고 있어서 t에 대한 함수를 s에 대한 함수로 변환한 다음 다시 t에 대해서 변환해 풀어나가는건가? 아니면 단순히 수학적 특성을 활용해서 개념적으로 적용하는건가?

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아래와 같은 RC 회로가 있다고 해보자.

여기에서 입력이 unit step 이라고 할 때, $y(t)$ 를 t에 대한 방정식으로 나타내보자.

 

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우선 양 변에 라플라스 변환을 취해준다. 여기에서 $y(t)$ 의 라플라스 변환이 $Y(s)$일 때, $y'(t)$ 에 대한 라플라스 변환이 $s\cdot Y(s)$ 가 되었다는 것에 주목하자. 미분이 곱셈이 되었다. (어떻게 이런 일이!)

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그리고 부분분수분해를 이용해 $Y(s)$ 를 2개의 분수 형태로 분리해준다. (잘 알려진 라플라스 변환으로 대치하기 위함!)

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라플라스 변환으로 대치해 y(t) 에 대한 식을 구해낸다.

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위 과정처럼 t 도메인의 신호를 s 복소주파수 도메인으로 변환하는 과정에서 미분이 곱셈으로 바뀌어 수식을 다루기가 매우 간편해진다. 이게 라플라스…? 과연 프로레슬링 기술이름 답다.

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안정성 분석

라플라스 변환의 pole이 해당 신호의 특징을 나타낸다는 것을 이용하여, 신호가 시간이 흐르더라도 안정적인지에 대해서 판단할 수 있다.

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RC 회로나 모터 등에 신호를 전달할 때 시간 t에 따라 값이 무한대로 발산해버리는 (폭주해버리는) 경우가 발생해버리면 안된다. 즉, t가 증가함에 따라 신호가 발산하지 않고 특정한 값으로 수렴한다면 해당 신호는 ‘안정하다’ 고 표현할 수 있다.

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신호 $f(t)$의 특정한 지수 복소신호 성분 $c_ne^{st}$에 대해서, 만약 t가 점점 커질 때 복소지수 성분의 값도 함께 커지거나 작아진다면 $t\rightarrow\infty$ 일 때의 $f(t)$ 는 발산하게 된다. 그래서 이 성분이 특정 값으로 수렴하도록 되는 것이 더 안정적인 시스템을 만들 수 있다. (t는 시간을 의미하고, 시스템이 시작하기 전 ($t<0$) 대해서는 엔지니어링에서는 중요하게 생각하지 않으므로 $t$가 $\infty$로 갈 때의 발산여부에 대해서만 판단하면 된다.)

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즉, $s$의 실수부인 $\sigma$ 가 $\sigma$ < 0 인 경우에는 $e^{st}$ 의 값이 1로 수렴하게 되면서 $c_n$ 이라는 값에 수렴할 수 있게 되지만, $\sigma > 0$ 인 경우에는 $e^{st}$가 발산하여 불안정한 신호가 된다.

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신호를 구성하는 성분들 중에서 하나만이라도 발산하게 되면 전체 신호가 불안정하게 될 수 있다. 그러므로 만약 $f(t)$를 구성하는 모든 성분들이 $\sigma < 0$ 을 가진다면, 다시 말해서 모든 pole의 위치가 $\sigma < 0$ 이라면, 이 신호는 ‘안정적이다’, ‘stable’ 하다 라고 표현할 수 있다.

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이를 조금 더 공학적으로 말하자면, 모든 pole들이 복소평면의 왼쪽 반평면(Left Half Plane, LHP)에 위치하면 해당 출력 신호가 안정적이라고 볼 수 있다.