[신호및시스템] Phase 0 - 오일러(매클로린 급수)와 신호 추출

오일러 공식 배우는 이유

매클로린 급수

매클로린 급수는 오일러 공식의 특수한 상황에서 (a=0) 적용할 수 있는 방법이고, 이걸 이용하면 지수함수나 삼각함수같은 특수한 형태의 초월 함수를 다항 함수의 형태로 근사할 수 있는 방법이다.

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초월함수 → 다항함수로의 변환을 통해 덧셈, 뺄셈, 곱셈만으로 초월함수를 계산할 수 있기에 컴퓨터가 처리하기 편리하고, 미적분을 비교적 간단히 처리할 수 있다는 장점이 있다.

$$
f(x) = C_0 + C_1\cdot x + C_2\cdot x² + C_3\cdot x³ + C_4\cdot x⁴ + ...
$$

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$f(0) = C_0$

$f'(x) = C_1 + 2C_2x + ...$ → $f'(0) = C1$

$f''(x) = 2C_2 + 6C_3x + ...$ → $f''(0) = 2C_2$

$f3(x) = 6C_3 + 24C_4x + ...$ → $f^3(0) = 6C_3$

$f^n(0) = n!C_n$

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위 과정으로 각 상수항에 대한 근사값을 찾아간다.

이를 활용해, $e^{j\theta}$ 를 매클로린 급수를 활용해 다항식의 형태로 나타내보면 다음과 같이 유도할 수 있다.

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위 식을 통해서 $e^{j\theta} = cos\theta + j\cdot sin\theta$ 라는 수식을 얻을 수 있었다. 이 아름다운 수식에 복소수가 들어있으니, 이걸 이제 복소평면위로 옮겨보자.

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세타 값이 움직이는 경로를 따라 선을 죽 그어보면 복소 평면 위에 반지름이 1인 원이 그려지게 된다. 그런데 이 반지름이 1이라는 말은 곧 “크기와 각도를 조절하면 모든 방향의 좌표점을 가리킬 수 있다는 것”을 의미한다. 오른쪽 그림처럼 좌표에 2를 곱하면 반지름이 2인 원을 그릴 수 있고, 반지름이 2인 원 위에 있는 모든 점을 가리킬 수 있다.

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그러므로, 아래 수식으로 복소 평면 위의 모든 점을 표현할 수 있게 되었다!

$$
A\cdot e^{j\theta}
$$

각도와 크기를 이용하는 좌표계가 이런 의미라는 것을 처음에 이 내용을 공부할 때는 몰랐는데, 다시 정리를 하다보니 알게되었다. 방사형 좌표계? 그런 이름이였던 것 같은데 거의 10년만에 의미를 알게 된 것 같다 ㅋㅋ.

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오일러 공식이 등장하기 전까지는 지수 함수로는 양의 실수만을 표현할 수 있었다. 그런데, 오일러 공식 덕분에 모든 복소수 (복소 평면 위의 좌표들)를 지수 함수의 형태로 표현할 수 있게 되었다! 이게 어쩌면 수식적인 면에서 가장 큰 의의가 아닐까!

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신호의 송수신

라디오 안테나 등에서 cos(ωt) 과 같은 형태의 신호를 송신한다고 하자.

그러면 위 신호를 복소수의 형태로 전송할 때 아래와 같이 가공해서 보낸다.

$$
e^{j\omega t} = cos(\omega t) + j\cdot sin(\omega t)
$$

만약 cos만 있었다면 단순히 시간 t에 따른 진폭이였겠지만, 뒤의 항이 추가되면서 신호의 진폭은 복소평면 그래프 상에서 원을 뺑글뺑글 그리게 된다.

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자, 이제 예시 상황을 생각해보자. 다음 방송국들에서 안테나를 통해 동시에 신호를 보내기 시작한다.

• 방송국 A: 100MHz
• 방송국 B: 200MHz
• 방송국 C: 300MHz

그러면 복소 평면에서 각 신호는 $e^{j \times 2\pi \times 100 \times 10^6 \times t}$ 의 수식의 형태를 그리고 있을 것이다. 주파수에 따라서 중간에 있는 숫자 100의 크기가 다를 뿐. 즉, 300MHz 의 주파수로 전달한 신호가 “더 빠르게 복소 평면을 회전한다.”

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내가 이 중에서 200MHz의 주파수로 신호를 보내는 방송국 B의 신호를 수신하고 싶다고 하자. 그러면 나는 들어오는 모든 신호에 $e^{-j \times 2\pi \times 200 \times 10^6 \times t}$ 를 곱한다. 그러면 각 방송국의 신호는 아래처럼 변한다.

• 방송국 A : $e^{-j \times 2\pi \times 100 \times 10^6 \times t}$
• 방송국 B : 1
• 방송국 C : $e^{j \times 2\pi \times 100 \times 10^6 \times t}$

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필터링을 적용하고 나면 내가 타겟으로 한 신호는 복소평면상에서 ‘정지’ 해있고, 나머지는 계속 원을 그리며 회전하게 된다. 그리고 원을 그린다는 것은 좌표의 평균값이 0 (원점) 에 있다는 것을 의미하고, 정지해있다는 것은 좌표의 평균값이 유지된다는 것을 말한다.

• 방송국 A 신호의 평균 : 0
• 방송국 B 신호의 평균 : 평균값 유지 → 해당 주파수 성분이 존재한다.
• 방송국 C 신호의 평균: 0

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만약 신호가 $A·e^{j2π×200MHz×t}$ 의 형태로 들어왔다면, 필터링을 거치고 난 신호의 평균값은 $A$ 이다. 나머지 성분의 신호들은 평균값이 0이 되어 거의 사라지게 된다. 그러면 우리는 단위 시간동안의 평균을 통해 200MHz를 통해 보내고 싶었던 신호인 A를 구할 수 있게된다.

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연속된 구간에 대해서 각각의 시간 구간에 대해 필터링된 신호를 계속 평균을 낸다면 정보들을 연속해서 추출할 수 있게 된다.

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샤라웃

https://www.youtube.com/playlist?list=PL_iJu012NOxcDuKgSjTKJZJd3bQtkAyZU

혁펜하임의 “퍼펙트” 신호 및 시스템 (Signals & Systems)