[신호및시스템] Phase 1 - LTI, Convolution 그리고 LCCDE

LTI와 Convolution

Linear Time-Invarient System

Linear의 특징

• Additivity : 가산
  • $f(a+b) = f(a) + f(b)$
• Scaling : 비례
  • $f(na) = nf(a)$
• Superposition
  • Additivity + Scaling의 성질이 결합
  • $f(α⋅x1​(t)+β⋅x2​(t))=α⋅f(x1​(t))+β⋅f(x2​(t))$

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실제 환경에서는 “동작 범위 내에서 Linear의 특성”을 보인다.

예를 들어, 음악소리와 목소리가 함께 나오는 스피커는 Additivity를 보인다. 그리고 볼륨의 크기를 키우면 Scaling도 보인다.

그러나 볼륨이 너무 커진다면 스피커가 찢어지는 소리를 낸다. 요게 Saturation 이 발생하는 것임.

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Time-Invariant (시불변성)의 특징Time-Invarient의 특징

• 입력 시간이 지연되면 출력 시간도 똑같이 지연된다.
• 입력: $x(t−τ)$⇒출력: $y(t−τ)$

나는 단순히 Linear 시스템이라면 당연히 같은 입력에 대해서 동일한 출력이 나오는게 맞지 않나? 라고 생각했는데, 현실세계에서 ‘시간’ 이라는 요소가 들어있다는 것을 고려해야 함을 뒤늦게 알게되었다.

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그렇다면 오전 9시에 전달한 신호 입력과 출력이 오후 3시에 전달한 신호 입력과 출력과 동일한 입출력인가? 이 관점에서 본다면 오전 9시의 입출력에 대한 함수를 $f(A(t))$ 라고 한다면 오후 3시의 함수는 $f(A(t-6))$ 이라고 볼 수 있다 (6시간 만큼 t를 평행 이동시킴). 그러면 동일한 입력값에 대해서 동일한 출력을 만들어낼 수 있다. 즉, 이 수식은 시간에 대해서 출력값이 영향을 받지 않는다. 그리고 이 특성은 ‘시간축으로 평행이동을 하더라도 영향을 받지 않음’ 이라는 성질을 가진다고 볼 수 있다. 물론, 입력이 k 만큼 지연되었다면 출력도 k 만큼 지연된다. 입력이 t 만큼 밀렸다면 출력도 t 만큼 밀려야한다!

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이렇게 시간축에 대해 이동하더라도 입력값에 영향이 없는 수식을 “시간에 대해 불변한다”고 표현하고, 영어로는 Time-Invarient 라고 부른다.

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Impulse Response

Impulse

만약 아주 짧은 시간만에 신호를 input 할 수 있다면 (입력을 위해 드릉드릉이 필요 없다면)?

이런 신호를 impulse 라고 하고, $\delta(t)$ 라고 표현한다.

$$∫^{−∞}_∞ δ(t)dt=1$$

x 라는 세기의 신호를 표현하고 싶다면 impulse에 세기 x 를 곱하여 나타낼 수 있다.

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만약 신호가 $\tau$ 만큼의 시간 이후에 영향을 받아 도달한다면, 이 t초에 보낸 신호의 세기는 $\delta(t) \times h(t-\tau )$ 로 도착하게 될 것이다. 여기에서의 $h$ 는 특정 시간 이후의 영향력을 의미한다.

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신호분해

Linear + Time-Invarient 한 시스템이 있다면, 단 하나의 입력에 대한 응답을 완벽하게 파악하고 있다면 다른 입력에 대해서도 출력을 예측할 수 있을까?

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아주 짧은 시간 (거의 0 … 순식간이라고 표현하자) 동안 1 만큼의 입력을 가했을 때의 출력을 안다면 ( t가 0일 때 $f(t)=k$ ) Linear System의 특징인 Scaling, Additivity 를 이용해 복잡한 다항식의 형태로 쌓아올릴 수 있다. 또, t가 $\tau$ 일 때의 신호를 표현하고 싶다면 $f(t-\tau )$ 에서 scailing, additivity 를 이용해 만들어내면 될 것이다.

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연속신호 $x(t)$ 를 무한히 많은 Impulse 의 조합으로 표현해낼 수 있다. 특히, $\Delta \tau$ 값을 0으로 보내면 이 신호는 continuous 하다고도 볼 수 있다.

$$
x(t) = \lim_{\Delta \tau \rightarrow0} \sum ^{∞}_{-∞} x(\tau)\cdot \delta(t-\tau )\cdot \Delta\tau
$$

$$
=∫^{−∞}_{∞}x(τ)⋅δ(t−τ)dτ
$$

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그러면 t 시점의 신호의 세기 (모든 과거 입력들이 현재까지 누적된 영향) 인 $y(t)$ 를 이렇게 표현할 수 있다.

$$
y(t) = \int^{∞}_{-∞}x(\tau)\cdot h(t-\tau)d\tau
$$

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Convolution

그렇다면 t 시점의 신호에 대해서는 어떻게 표현할 수 있을까?

현재 시점의 신호의 세기를 알기 위해서는 모든 과거 입력들의 현재까지 누적된 영향에 대해서 파악을 하면 된다.

$$
y(t) = x(t) * h(t)= \int^{∞}_{-∞}x(\tau)\cdot h(t-\tau)d\tau
$$

• $x(\tau )$ = 과거 $\tau$ 시점에서의 입력의 크기 (입력된 신호의 세기)
• $h(t-\tau )$ = $\tau$ 시점에 입력된 신호가 지금 얼마나 영향력을 미치고 있는가
• $x(\tau )\cdot h(t-\tau )$ = 과거 $\tau$ 시점에 입력한 신호가 현재 시점에 기여하는 정도
• $y(t)$ = 모든 과거부터 현재까지의 신호들의 현재 시점에서의 총합

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여기에서 $x(t) * h(t)$ 처럼 * 기호로 나타내는 곱은 단순히 곱하기가 아니라 모든 과거의 누적 효과를 말하는 것이다.

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즉, LTI 시스템에서는 임펄스의 응답 $h(t)$ 함수에 대해서만 정확하게 파악하면 $x(t)$ 에 대한 $y(t)$ 를 정확하게 알아낼 수 있다. $h(t)$가 시스템의 특성이라고 생각하면 된다.

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LCCDE

Linear Constant Coefficient Differential Equation

• Linear: 방정식이 선형 형태로 전개될 수 있다.
• Constant Coefficient : 계수가 상수값을 가진다.
• Differential Equation : 미분 방정식, 방정식에 함수와 도함수가 포함된 형태를 보인다.
• $$
  {{dy}\over{dt}} + a\cdot y(t) = b\cdot x(t)
  $$

대부분의 practical한 시스템들은 미분 방정식을 이용해 표현이 가능하다. 그 중에서 계수가 상수값으로 고정되어 비교적 다루기 편한 LCCDE를 한 번 활용해보자.

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아래 그림처럼 어떤 사물이 $m$ 의 질량을 가지면서, 왼쪽으로 $f(t)$ 만큼의 힘을 전달할 때, 오른쪽으로는 $\rho v(t)$ 만큼의 힘을 저항+마찰로 받을 때의 알짜가속도를 구해보자. 여기에서 전달하는 힘이 input, 그에 따른 가속도(속도)가 output 으로 생각할 수 있다.

$$
{{dv(t)}\over{dt}} = {{f(t) - \rho v(t)}\over{m}}
$$
$$
{{dv(t)}\over{dt}} + {{\rho}\over{m}}v(t) = {{1}\over{m}}f(t)
$$
$$
y'(t) + {{\rho}\over{m}}y(t) = {{1}\over{m}}x(t)
$$

LCCDE의 해

LCCDE의 해는 함수임. t에 따라서 변하는 함수를 찾는 것이 미분 방정식의 해이자 목표.

아래와 같은 식을 만족하는 $y(t)$ 를 찾고자 한다.

$$
{{dy}\over{dt}} + 2\cdot y(t) = x(t) \space (\text{ 이때 }x=5^{et}u(t))
$$

• Homogeneous Solution : 위 식에서 입력 $x$ 가 0일 때
  • 시스템에 입력이 없을 때에 어떤 상태인지 파악 (힘을 주지 않았을 때 이미 등속운동?)
• Particular Solution : 위 식에서 입력 $x$가 존재할 때
  • 시스템에 입력을 넣었을 때 어떻게 되는지 파악

$$
{{dy_n}\over{dt}} + 2\cdot y_n = 0
$$
$$
{{dy_p}\over{dt}} + 2\cdot y_p = x
$$
$$
{{d(y_n+y_p)}\over{dt}} + 2\cdot (y_n+y_p) = x
$$

이때, 두 식을 더하더라도 여전히 동일한 미분방정식의 형태를 보인다 → 오! 그러면 내가 진짜로 찾고싶었던 건 Homogeneous + Particular 인 식을 찾고싶은거임 (가만히 있을 때에도 성립 + 입력을 가했을 때에도 성립)

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그러면 이 미분방정식을 한 번 풀어보자. Homogeneous, Particular 에 대한 식을 각각 구한 뒤 합쳐주면 된다.

• Homogeneous 의 꼴을 봤을 때 지수 함수 형태면 좋을 것 같음
• Particular를 풀 때에는 x의 형태를 보고 y, y’ 를 맞춰주기

쭉쭉 식을 전개해 나가다보면 마지막에는 아직 찾지못한 계수와 t≤0 일때의 값 등이 발견된다.

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이때 우리가 해결하려는 문제가 Causal LTI 라고 가정하면 이 값들도 찾아낼 수 있다. Causal LTI의 특징은 Initial Rest로, 입력이 없을 때 출력이 없다는 전제조건을 가진다. 따라서 t가 0이거나 이전일 때는 입력이 없으므로 출력 또한 없다고 보고 t=0일때의 출력을 0으로 만들어줄 수 있다. 그리고 이 덕분에 그래프가 연속되기 위한 A 의 값을 찾을 수 있다.

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단, 요거는 LCCDE 로 표현할 수 있는 시스템에 대해서만 적용할 수 있음을 유의하자.

 

 

샤라웃

https://www.youtube.com/playlist?list=PL_iJu012NOxcDuKgSjTKJZJd3bQtkAyZU

혁펜하임의 “퍼펙트” 신호 및 시스템 (Signals & Systems)