[신호및시스템] Phase 2-3 - 주파수 도메인 분석 - 함수의 푸리에 변환 적용

함수의 푸리에 변환

delta 함수

임펄스를 나타낼 때 사용하는 $\delta(x)$ 에 대한 푸리에 변환을 구하기

$$
\delta(x) \Leftrightarrow 1
$$

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$x(t-t_0)$

$$
x(t-t_0) \Leftrightarrow X(\omega)\cdot e^{-j\omega t_0}
$$

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$x(t) * h(t)$

컨볼루전은 $x(t)$ 가 $h(t)$ LTI 시스템을 통과할 때의 출력을 구하는 것이라고 보면 됨

$$
x(t)_h(t) \Leftrightarrow X(\omega)_H(\omega)
$$

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$x(-t)$

$$
x(-t) \Leftrightarrow X(-\omega)
$$

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$x^*(t)$

여기에서 *는 켤레복소를 찾는 것을 말함!

$$
x^*(t) \Leftrightarrow X^*(-\omega)
$$

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Duality

$x(t) \Leftrightarrow X(\omega)$ 변환을 만족하는 수식을 찾았을 때, $X(t) \Leftrightarrow \text{?}$ X를 다시 시간 도메인을 전달한다면 주파수 도메인을 받는 함수는 어떤 형태일까.

$$
X(t) \Leftrightarrow 2\pi x(-\omega)
$$

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주기 함수의 푸리에 변환

푸리에 변환은 비주기함수에 대해서 입력을 복소 함수로 출력하도록 변환을 적용하는 것이다. 그런데, 주기함수의 형태를 가지고 있는 비주기함수라면 푸리에 변환을 적용할 수 있을까?

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$t_0$ 이전까지는 cos 함수의 형태를 가지다가 $t_0$ 시점부터 다른 형태를 가지는 함수는 비주기함수이다. 그렇다면 $t_0\rightarrow\infty$ 로 보낸다면 이건 주기함수일까 비주기함수일까. 이 주기 신호 함수의 형태를 비주기함수의 신호라고 생각한다면 푸리에 변환을 충분히 적용할 수 있다.

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비주기 함수일 때 푸리에 변환을 적용할 수 있다고 했지, 비주기 함수여야 푸리에 변환을 적용할 수 있다고 하지는 않았다. (충분조건) 주기함수 중에서도 푸리에 변환을 적용할 수 있는 함수들이 있다.

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cosine의 변환

$cos(\omega_0 t)$ 에 대해 푸리에 변환을 적용해보자. 이 과정에서는 복소 지수 $e^{-j\omega_0t}$ 를 삼각함수 형태로 풀어서 적용해주면서 식을 풀어나갈 수 있다. 이를 통해서 테크닉을 적용하면 주기함수에 대해서도 푸리에 변환을 적용할 수 있음을 확인 가능하다.

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그런데, 의문이 들어서 조금 더 찾아봤다. 푸리에 변환은 비주기 함수에 대해서만 적용할 수 있다고 했는데, 주기 함수의 형태로 막 바꿔도 문제가 없나? 심지어 여기에서는 구간을 0~T 로 나눈다거나 하는 과정도 없었어서 좀 더 찾아봤다.

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주기 함수도 푸리에 변환이 수학적으로는 가능하지만, 그 결과에 델타 함수들이 포함된다. 그래서 일반적인 비주기함수(일반함수)에 대해서는 연속된 $F(\omega)$가 푸리에 변환의 결과로 나오지만, 주기 함수에 대해서는 델타함수들의 합이 푸리에 변환의 결과로 나온다. 이는 푸리에 급수를 주파수 영역에서 표현한 것과 동일하다. → 델타 함수를 통해서 이산 스펙트럼을 표현한다.

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정확히 이게 무슨 말인지는 파악하지 못한 것 같은데, 푸리에 변환 식에서 델타 함수들이 눈에 들어오면 ‘주기함수에 대한 변환식이구나’ 라고 생각해도 될 것 같다. 아마 다음 챕터인 이산 푸리에 변환 파트에서 다루지 않을까 기대가 된다. 😁

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delta train 의 변환

델타 트레인의 변환에서는 앞서 살펴봤던 복소 지수함수의 푸리에 변환을 활용한다.

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여기에서도 결국에는 주기 함수의 푸리에 변환인데, “이산 주파수에서만 델타 함수를 가지”기 때문에, 연속적인 스펙트럼을 가지지는 못한다. 그래서 비주기 신호에서 가지는 연속된 스펙트럼 $F$와는 차이가 있다고 한다.

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이후에 미분에 대한, 단위 계단 함수에 대한 푸리에 변환들이 주르륵 등장하는데, 시스템에 대한 이해가 먼저라고 생각해서 이후에 필요할 때 한 번 씩 정리하면서 진행해볼 계획이다.

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샤라웃

혁펜하임의 “퍼펙트” 신호 및 시스템 (Signals & Systems)

혁펜하임의 “퍼펙트” 신호 및 시스템 (Signals & Systems)

 

Convolution and the Fourier Transform explained visually